분포 특성 정의

zz0622

|2024. 6. 6. 15:53

분포의 명칭과 기호 (distribution)	확률밀도함수 (pdf)	대의적 정의 (representational definition)
이항분포 B(n,p) 0 ≤ p ≤ 1	$\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},~x=0,1,\ldots,n$	X ~ B(n,p) ↔ X = Z₁ + ⋯ + Zₙ, Zᵢ ~ Bernoulli(p) (i = 1, …, n)
베르누이분포 Bernoulli(p) 0 ≤ p ≤ 1	$p^x(1-p)^{1-x},~x=0,1$	B(1,p)
음이항분포 Negbin(r,p) 0 < p < 1, r : 자연수	$\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r},~x=r,r+1,\ldots$	X ~ Negbin(r,p) ↔ X = Z₁ + ⋯ + Zᵣ, Zᵢ ~ Geo(p) (i = 1, …, r)
기하분포 Geo(p) 0 < p ≤ 1	$(1-p)^{x-1}p,~x=1,2,\ldots$	Negbin(1,p)
포아송분포 Poisson(λ) λ ≥ 0	$\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda},~x=0,1,\ldots$
다항분포 Multi(n,p₁,p₂,⋯,pₖ) pᵢ > 0, ∑pᵢ = 1	$\frac{n!}{x_1!x_2!\ldots{x_k!}}p_1^{x_1}p_2^{x_2}\ldots{p_k^{x_k}},~x_1+x_2+\ldots+x_k=n$	X = (X₁, ⋯, Xₖ)ᵀ, p = (p₁, ⋯, pₖ)ᵀ, X ~ Multi(n,p) ↔ X = Z₁ + ⋯ + Zₙ, Zᵢ ~ Multi(1,p) (i = 1, …, n)
감마분포 Gamma(α,β) α > 0, β > 0	$\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}},~x>0$	X ~ Gamma(α,β) ↔ X = Z₁ + ⋯ + Zᵣ, Zᵢ ~ Exp(β) (i = 1, …, r), α: 정수인 경우 r = α, α: 임의의 실수
지수분포 Exp(1/λ) λ > 0	$\lambda{e^{-\lambda{x}}}I_{(0,\infty)}(x)$	Gamma(1,1/λ)
정규분포 N(μ,σ²) μ : 실수, σ > 0	$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2},~-\infty<x<\infty$	X ~ N(μ,σ²) ↔ X = σZ + μ, Z ~ N(0,1)

분포의 명칭과 기호 (distribution)	적률생성함수 (mgf)	누율생성함수 (cgf)
이항분포 B(n,p) 0 ≤ p ≤ 1	$(pe^t+q)^n,~q=1-p,~-\infty<t<\infty$	$n\log[1+p(e^t-1)]$
음이항분포 Negbin(r,p) 0 < p < 1, r : 자연수	$(pe^t(1-qe^t)^{-r},~q=1-p,~t<-\log{q}$	$-r\log[1-p(e^t-1)]$
포아송분포 Poisson(λ) λ ≥ 0	$e^{\lambda(e^t-1)},~-\infty<t<\infty$	$\lambda(e^t-1)$
다항분포 Multi(n,p₁,p₂,⋯,pₖ) pᵢ > 0, ∑pᵢ = 1	$\prod_{j=1}^{k}(p_j{e^{t_j}})^n,~-\infty<t_j<\infty(j=1,\ldots,k)$	$n\log\left(1+\sum_{j=1}^{k}p_j(e^{t_j}-1)\right)$
감마분포 Gamma(α,β) α > 0, β > 0	$(1-\beta{t})^{-\alpha},~t<1/\beta$	$\alpha\log(1-\beta{t})$
정규분포 N(μ,σ²) μ : 실수, σ > 0	$\mu{t}+\frac{1}{2}\sigma^2t^2,~-\infty<t<\infty$	$\mu{t}+\frac{1}{2}\sigma^2t^2$